Geometria Descritiva/3-Verdadeira Grandeza

Resumo da Matéria Anterior

Os pontos podem ser determinados pelas suas coordenadas.
O afastamento, a cota e a abcissa são distâncias do ponto ao PFP, PHP e PPP, respectivamente.
Para se representar o plano de perfil usa-se os eixos y e z que ficam coincidentes no desenho.
Para se marcar um ponto marca-se primeiro a abcissa a partir de y=z, para a esquerda se positiva e para a direita se negativa.
O afastamento é visível na projecção horizontal, e é marcado para baixo se positivo e para cima se negativo.
A cota é visível na projecção frontal e é marcada para cima se positiva e para baixo se negativa.
Quando as coordenadas são apresentadas entre parêntesis estão por esta ordem: (abcissa, afastamento, cota).

Verdadeira Grandeza

Verdadeira grandeza é um termo que se refere ao facto de as medidas de um objecto poderem ser directamente retiradas de uma das suas projecções.

Se observarmos algumas das imagens já estudadas vimos que existem por vezes distorções. Por exemplo, nos quadrados horizontais que já fizemos, a distância entre dois pontos na projecção frontal é diferente dessa mesma distância na projecção horizontal.

Para continuar-mos a fazer desenhos e exercícios, é preciso ter uma noção maior do que está em verdadeira grandeza.

Observe a seguinte imagem:

Porquê que a projecção é menor? Ora, isso é um óbvio efeito do facto de as rectas projectantes serem paralelas e perpendiculares ao desenho.

Agora, observe esta imagem:

Aqui já não há redução, uma vez que o segmento é paralelo à projecção.

Podemos concluir, portanto, que para estar em verdadeira grandeza, é necessário estar paralelo a um plano de projecção.

Paralelismo com os Planos de Projecção

Quando é que um segmento é paralelo ao plano de projecção?

Nós já estudámos objectos horizontais, ou seja, paralelos ao planos horizontal de projecção, e algo que acontece nesses casos é que a projecção frontal desses objectos era uma linha paralela ao eixo x. Isso acontece porque a cota é constante, pelo que qualquer recta ou figura paralela ao plano horizontal de projecção tem projecção frontal paralela ao eixo x.

Da mesma forma, como um objecto paralelo ao plano frontal tem afastamento constante, a sua projecção horizontal será uma linha paralela ao eixo x.

Podemos dizer que todos os segmento que tenham uma das suas projecções paralelas ao eixo x, terão a outra projecção em verdadeira grandeza.

Escalas

Embora digamos que se pode tirar as medidas do objecto caso estejam em verdadeira grandeza, isso pode não ser exactamente verdade, uma vez que o desenho pode estar à escala. Aquilo que interessa é que caso um objecto esteja à escala as projecções serão exactamente semelhantes embora alteradas nessa mesma escala.

Mais à frente haverá exercícios sobre objectos como edifícios que sem dúvida obrigam à utilização uma escala, como tal, vamos perder algum tempo com essas noções.

Se nos for pedido para representar um objecto à escala, todas as distâncias serão reduzidas. Se nós já tivermos estabelecido um referencial (por exemplo, para um móvel, os planos de projecção podem corresponder ao chão e à parede), devemos aplicar a escala a todas as coordenadas.

Notação de Escala

A escala refere-se a quanto a distância real foi diminuída ou aumentada:

Numa escala 1:2 cada centímetro do desenho corresponde a 2cm na vida real.
Numa escala 1:10 cada centímetro do desenho corresponde a 10cm na vida real.
Numa escala 1:50 cada centímetro do desenho corresponde a 50cm na vida real.
Numa escala 1:0,5 cada 2 centímetros do desenho correspondem a 1cm na vida real.
Numa escala 1:0,1 cada 10 cm do desenho correspondem a 1cm na vida real.

Se tivermos uma medida de 150cm e a quiser-mos desenhar a 1:5? Temos que dividir 150 por 5, o que dá 30cm.

Se no papel tivermos uma medida de 20cm e quiser-mos saber a distância real, sabendo que a escala é 1:0,5, temos que multiplicar 20 por 0,5, o que dá 10 cm.

Como podemos ver, sempre que o valor que existe apôs o ":" é maior do que 1, estamos a falar de uma redução do original, se esse valor for menor que um, então trata-se de uma ampliação.

Exercícios Resolvidos

Vejamos o seguinte exercício:

Desenhe uma pirâmide quadrangular recta [ABCDE] sabendo que:

A (3, 3, 2)
B (1 , 1, 2)
[AB] é um dos lados da base.
[ABCD] é perpendicular ao PHP.
A pirâmide tem uma altura de 5cm.
O vértice E tem maior afastamento que a base da pirâmide e maior cota que o ponto A.

Resolução:

Comecemos como sempre por compreender a o objecto no espaço, sabendo que temos que estar atentos aos dados do problema e recorrer aos nossos conhecimentos para o resolver.

Ora, os pontos A e B são um dos lados da base, pelo que podemos desde já traçar esse segmento de recta.

Verificamos que se trata de um segmento paralelo ao plano horizontal, já que a projecção frontal é paralela ao eixo x, pelo que aparece em verdadeira grandeza na projecção horizontal.

Portanto, tratando-se de um lado do quadrado, já sabemos a dimensão da base da pirâmide.

Mas agora temos que continuar a desenhar a base. Como o fazemos?

Há agora uma informação que nos pode ser útil: [ABCD] é perpendicular ao PHP.

Quer isto dizer que a base da pirâmide está num plano vertical. Sabendo nós que um dos lados do quadrado é horizontal, sabemos que dois dos outros terão que ser verticais.

Estes lados verticais estão em verdadeira grandeza no plano frontal de projecção, para onde pode ser transferida a distância do lado do quadrado transferida há pouco. Eles estão para cima uma vez que é dito que o vértice da pirâmide tem maior cota que A.

Temos então os pontos C e D, pelo que podemos completar a base da pirâmide.

Sabemos agora que o vértice E está a 5cm do centro da base, numa linha traçada perpendicularmente a essa base.

Tal linha - o eixo da pirâmide - é horizontal pelo que também estará em verdadeira grandeza, pelo que podemos traçá-la na projecção horizontal a partir do centro da projecção da base e perpendicular a esta.

Medimos 5 cm nessa linha na para o lado esquerdo - que tem mais afastamento, como pede o enunciado - e aí marcamos a projecção horizontal de E.

Para ter a projecção frontal basta fazer as diagonais do quadrado base (que aparece deformado) e traçar daí uma linha paralela ao eixo x até encontrar a vertical traçada a partir de E1, aí tem-se E2.

Ficheiro:Exercício Resolvido 3.tif

Este exercício demonstra bem o tipo de raciocínio que por vezes é necessário e a forma como é possível resolver um problema complicado ainda antes de se aprender a maior parte dos conceitos em Geometria Descritiva, desde que se tenha uma boa capacidade de imaginação e compreensão espacial.

Nota: as invisibilidades foram mostradas mas só serão estudadas mais à frente.

Exercícios 3

1

Desenhe um cubo [ABCDEFGH] tal que:

4 arestas serão paralelas ao plano horizontal de projecção.
A (1, 0, 0)
[AB] faz 45º com o PHP e B tem mais abcissa e cota que A.
O cubo tem de aresta 4cm.

2

Desenhe uma pirâmide quadrângular [ABCDE] tal que:

A(1,3,3)
B(-2,3,3)
C e D têm afastamento menor que A.
A pirâmide é recta e tem 5cm de altura, tendo cota menor que o quadrado.
C tem a mesma abcissa e cota que B.

Solução

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